====== Halbaddierer ======
===== Ziel =====
Ziel ist es eine Schaltung zu entwerfen, mit der es möglich ist zwei Binärziffern p und q zu addieren. Dabei muss auch der Übertrag beachtet werden.

===== Herleitung =====
==== Wahrheitstafel ====
Betrachten wir die Addition in der Wahrheitstafel:

^ p ^ q ^ Summe ^ Übertrag ^
|1|1|0|1|
|1|0|1|0|
|0|1|1|0|
|0|0|0|0|


==== KV-Diagramm ====
Nun erstellen wir für Summe und Übertrag jeweils ein eigenes [[theory:logic:kv|KV-Diagramm]].
  
=== Summe ===
| ^ p ^ ¬p ^
^ q |0|1|
^ ¬q |1|0|

Daraus lässt sich der Ausdruck \\ 
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)\\ 
herleiten.\\ 

=== Übertrag ===
| ^ p ^ ¬p ^
^ q |1|0|
^ ¬q |0|0|


Daraus lässt sich der Ausdruck \\ 
(p ∧ q)\\ 
herleiten.\\ 

\\ 
Nun wollen wir versuchen die Ausdrücke zu vereinfachen. Der Ausdruck für den Übertrag ist bereits vereinfacht. Durch Umformungen versuchen wir den Ausdruck des Übertrags in jenen der Summe zu bringen: \\ 

(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)\\ 
%%((p ∧ ¬q) ∨ ¬p)%% ∧ %%(p ∧ ¬q) ∨ q))%% \\ 
(p ∨ ¬p) ∧ (¬ ∨ ¬p) ∧ (p v q) ∧ (¬q v q) \\ 
W ∧ (¬q ∨ ¬p) ∧ (p v q) ∧ W \\ 
(¬p ∨ ¬q) ∧ (p v q) \\ 
Im ersten Ausdruck ein Negat herausheben ([[theory:logic:rules#demorgan|DeMorgan]]): \\ 
¬(p ∧ q) ∧ (p v q) \\ 
Ausdruck doppelt negieren: \\ 
¬¬(¬(p ∧ q) ∧ (p v q)) \\ 
Ein Negat in die Klammer bringen: \\ 
¬%%((%%p ∧ q) v ¬(p v q%%))%% \\ 
¬%%((%%__p ∧ q__) v (¬p ∧ ¬q%%))%% \\ 

===== Schaltung =====
Mit dem Ausdruck kann man folgende Schaltung bilden: \\ 
{{:theory:circuits:halbaddierer.png}}

===== Schaltzeichen =====
Zur Vereinfachung von Schaltplänen hat der Halbaddierer ein eigenes Symbol: \\ 
{{:theory:circuits:halbaddierer_zeichen.png}}

===== Probleme =====
Mit dem Halbaddierer ist es nur möglich Binärziffern zu addieren. Für ganze Zahlen wird ein [[theory:circuits:fulladder|Volladdierer]] benötigt, welcher eine Kombination aus Halbaddierern ist.


===== Beispiel =====
Nun wollen wir mit Hilfe von Halbaddierern eine Schaltung entwerfen, mit der es möglich ist, 3-stellige Binärzahlen zu addieren. \\ 

{{:theory:circuits:halbaddierer_beispiel.png}}

\\ 
Die Addition von mehr Stellen erfolgt nach dem gleichen Schema.