====== Wahrheitstabelle ====== ===== Definition ===== In der Aussagenlogik ist eine Aussagenvariable ein Platzhalter für eine Aussage. Die Belegung der Variablen erfolgt durch die Wahrheitswerte W oder F.\\ Mittels einer Wahrheitstabelle kann festgestellt werden, für welche Belegungen der Aussagevariablen der Ausdruck wahr bzw. falsch ist.\\ Dabei muss auf die [[theory:logic:terms#Konstruktionsvorschriften|Prioritäten]] der Junktoren geachtet werden.\\ ===== Erfüllungsmenge ===== Die Erfüllungsmenge ist die Menge E[A(x₁, x₂, … x_n)] (sprich: die Menge E des Ausdruckes A der Variablen x₁, x₂, … x_n) aller Belegungen der Aussagenvariablen x₁, x₂, … x_n für die A (x₁, x₂, … x_n) zu einer wahren Aussage wird.\\ \\ Beispiel für eine Erfüllungsmenge eines Ausdruckes mit den Variablen a und b: E[A(a, b)] = {(W, W), (W, F), (F, W)} ===== Erstellung einer Wahrheitstabelle ===== - Aussagevariablen zählen; bei n Variablen 2ⁿ Belegungen Beispiel: 3 Variablen ⇒ 2³ ⇒ 8 verschiedene Belegungen - Variablen in einer zusätzlichen Zeile über der eigentlichen Wahrheitstabelle anschreiben. - Bei der letzten Variable abwechselnd W und F anschreiben. - Die Anzahl der Ws nach links verdoppeln. - Ausdrücke anschreiben (auf Prioritäten achten!). - Auswertung des aussagenlogischen Ausdruckes von innen nach außen. - Erfüllungsmenge anschreiben. ==== Beispiel ==== Ausdruck: ¬b → ¬a ∨ c 3 Variablen → 8 verschiedene Belegungen\\ Alphabetisch anschreiben: ^ a ^ b ^ c ^ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | \\ \\ Rechts abwechselnd den Wert W und F einsetzen, nach links Anzahl der Ws und Fs verdoppeln: ^ a ^ b ^ c ^ |W|W|W| |W|W|F| |W|F|W| |W|F|F| |F|W|W| |F|W|F| |F|F|W| |F|F|F| \\ \\ Ausdruck anschreiben, darunter die Reihenfolge der Auflösung: ^ a ^ b ^ c ^ ^ ¬ ^ b ^ → ^ ¬ ^ a ^ ∨ ^ c ^ |W|W|W| | | | | | | | | |W|W|F| | | | | | | | | |W|F|W| | | | | | | | | |W|F|F| | | | | | | | | |F|W|W| | | | | | | | | |F|W|F| | | | | | | | | |F|F|W| | | | | | | | | |F|F|F| | | | | | | | | | | | | | 2 | 1 ^ 4 | 2 | 1 | 3 | 1 | \\ Es muss nicht jeder Ausdruck einzeln berechnet werden, aber dadruch wird die Berechnung des Gesamtergebnisses um vieles einfacher. \\ \\ Wahrheitswerte der Ausdrücke für die jeweiligen Belegungen berechnen: ^ a ^ b ^ c ^ ^ ¬ ^ b ^ → ^ ¬ ^ a ^ ∨ ^ c ^ | W | W | W | | F | W ^ W | F | W | W | W | | W | W | F | | F | W ^ W | F | W | F | F | | W | F | W | | W | F ^ W | F | W | W | W | | W | F | F | | W | F ^ F | F | W | F | F | | F | W | W | | F | W ^ W | W | F | W | W | | F | W | F | | F | W ^ W | W | F | W | F | | F | F | W | | W | F ^ W | W | F | W | W | | F | F | F | | W | F ^ W | W | F | W | F | | | | | | 2 | 1 ^ 4 | 2 | 1 | 3 | 1 | \\ 1 Wahrheitswerte einsetzen\\ 2 Wahrheitswerte negieren\\ 3 Disjunktion berechnen\\ 4 Implikation berechnen\\ \\ \\ Die Aussageform ist für 7 Belegungen wahr.\\ Erfüllungsmenge: E[A(a, b, c)] = {(W, W, W), (W, W, F), (W, F, W), (F, W, W), (F, W, F), (F, F, W), (F, F, F)} ===== Kategorisierung der Erfüllungsmengen ===== ==== Tautologie ==== Alle Belegungen der Variablen ergeben wahr.\\ Beispiel: a ∨ ¬a\\ Ist immer wahr, da immer mindestens eine Variable den Wahrheitswert W hat. ==== Kontingenz ==== Mindestens eine Belegung ist wahr und mindestens eine falsch.\\ Beispiel: a ∧ b\\ Kann sowohl W als auch F ergeben. ==== Kontradiktion ==== Keine Belegung ist wahr.\\ Beispiel: a ∧ ¬a\\ Ist immer falsch, da immer mindestens eine Variable den Wahrheitswert F hat.