Aussagenlogische Gesetze

Bei der Bildung von aussagenlogischen Ausdrücken kann man sich bestimmte Gesetze zunutze machen. Diese Gesetze kann man wie das Kürzen oder Herausheben in der Mathematik sehen. Der Ausdruck bleibt unverändert, wird aber vereinfacht.

Hier eine Liste mit den wichtigsten Gesetzen:

• ¬¬a ⇔ a (zwei Negate lösen sich auf, wie zwei Minus in der Mathematik)
• a ∧ b ⇔ b ∨ a (Vertauschungsgesetz)
• a ∧ (b ∧ c) ⇔ a ∧ b ∧ c (Assoziativität der Konjunktion)
• a ∨ (b ∨ c) ⇔ a ∨ b ∨ c (Assoziativität der Disjunktion)
• a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ b) (Distributivität der Konjunktion)
• a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨ b) (Distributivität der Disjunktion)

• a ∧ a ⇔ a (das Ergebnis des Ausdrucks hängt nur von a ab)
• a ∨ a ⇔ a (das Ergebnis des Ausdrucks hängt nur von a ab)
• a ∧ ¬a ⇔ F (dieser Ausdruck kann nie W ergeben)
• a ∨ ¬a ⇔ W (dieser Ausdruck kann nie F ergeben)

• a ∧ W ⇔ a (das Ergebnis des Ausdrucks hängt nur von a ab)
• a v W ⇔ W (a hat keinen Einfluss auf das Ergebnis)
• a ∧ F ⇔ F (a hat keinen Einfluss auf das Ergebnis)
• a v F ⇔ a (das Ergebnis des Ausdrucks hängt nur von a ab)

Steht ein Negat vor einer Klammer, werden bei der Auflösung alle Variablen negiert und Junktoren umgekehrt (∧ zu ∨ und ∨ zu ∧):

• ¬(a ∧ b) ⇔ (¬a ∨ ¬b)
• ¬(¬a ∨ ¬b) ⇔ (a ∧ b)

• a ∧ (a v b) ⇔ a (Verschmelzungsgesetz Konjunktion, Ergebnis hängt nur von a ab)
• a v (a ∧ b) ⇔ a (Verschmelzungsgesetz Disjunktion, Ergebnis hängt nur von a ab)

• a → b ⇔ ¬a ∨ b (Umwandlung der Implikation in eine Disjunktion)
• a ↔ b ⇔ (¬a v b) ∧ (a v ¬b) (Umwandlung der Bijunktion in eine Konjunktion)
• a ↔ b ⇔ (a ∧ b) v (¬a ∧ ¬b) (Umwandlung der Bijunktion in eine Disjunktion)