In der Vektoranalysis und deren Anwendungen in der theoretischen Physik werden häufig Summen gebraucht und es muss oft auch gleich über mehrere Indizes summiert werden. Betrachten wir exemplarisch die Definition des Kreuzproduktes in dreidimensionalen kartesischen Koordinaten¹⁾.


Da der Physiker ein von Natur aus schreibfauler Mensch ist, möchte er sich diese Dreifachsumme ersparen. Es hat sich eine nach Albert Einstein benannte Konvention durchgesetzt, die festlegt, dass über freie²⁾, doppelt vorkommende Indizes in einem Produkt summiert wird. Angewandt auf das Beispiel lässt sich die Gleichung also deutlich verkürzen:


Es gibt auch Situationen, in denen ein Index durch Umformungen dreimal auftaucht. Meistens ist das ein Zeichen dafür, dass man etwas falsch gemacht hat, aber in einigen Fällen lässt es sich nicht umgehen. In solchen Fällen wird das Summenzeichen im Allgemeinen wieder mitgeschrieben.
Genausogut kann der Fall auftreten, dass ein Index plötzlich doppelt auftritt, obwohl ursprünglich nicht summiert wurde. Um hier Klarheit zu schaffen, setzt man einen Punkt unter den Index, als Zeichen dafür, das nicht summiert werden soll.
Ein Beispiel, in dem beide Fälle auftreten, ist die allgemeine Definition des Ortsvektordifferentials in krummlinigen Koordinaten³⁾:

Im dritten und vierten Term muss die Summe explizit geschrieben werden, da der Index dreifach vorkommt. Im letzten Term müssen unter die Indizes Punkte gesetzt werden, da hier nicht über summiert werden darf. Das geht eigentlich schon daraus hervor, dass der Index rechts auftaucht und somit nicht frei ist, aber man geht lieber auf Nummer sicher.


Die Einsteinsche Summenkonvention mag zwar anfangs oft Probleme bereiten, da man sie leicht anzuwenden vergisst, erspart einem aber jede Menge Schreibaufwand und sorgt für mehr Übersichtlichkeit und sie wird - wie bereits erwähnt - vor allem gern von Physikern benutzt.

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