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Zahlensysteme
0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
Diese Zeichen kennt hoffentlich jeder. Doch was bedeuten sie? Was können diese magischen Hieroglyphen? Diese Zeichen stellen „Ziffern“ dar. Jede Einzelne von ihnen hat ihre Bedeutung, und man kann alle „Zahlen“ durch verschiedene Kombinationen von „Ziffern“ darstellen.
Doch habt ihr euch schon mal gefragt, wieso es eigentlich 10 Zeichen sind? Wieso bei zehn (10) eine Stelle dazukommt, die Zahl also nun aus zwei Ziffern besteht, wieso bei Hundert (10*10) und Tausend (10*10*10) je eine Stelle dazukommt?
Wieso nicht bei 3? oder 12? oder 7?
Die Antwort ist: weil wir im dezimalen Zahlensystem rechnen (die Basis ist dezimal, also 10). Wieso? Diese Frage überlassen wir lieber den Ethnologen. Aber wahrscheinlich kommt es davon, dass wir zehn Finger haben und daran das zählen lernten.
Was wir aber wissen ist, dass Zahlensysteme austauschbar sind. Versucht es mal: Verwendet statt zehn nur acht Ziffern. Dann zählt ihr von 0 (Null) bis 7 (Sieben) und dann? Dann kommt 10. Das heißt dann aber nicht mehr Zehn, sondern es sieht nur so aus. Es ist die Zahl, die nach sieben kommt und das heißt dann noch immer „acht“. Und weiter geht's: 11 ist dann „Neun“, 12 ist „Zehn“.
Merke: der „Wert“ der Zahl bleibt immer gleich. Elf Äpfel bleiben elf Äpfel. Das Einzige was sich ändert ist die Repräsentation der Zahl, also wie man sie schreibt: Elf ist 11 in Dezimal (Basis 10), B in Hexadezimal (Basis 16, mit den Ziffern 0-9 und A-F), 13 in Oktal (Basis 8) und 1011 Binär (Basis 2).
So, nachdem wir festgestellt haben, dass es eigentlich egal ist, wie wir Zahlen darstellen, sehen wir uns an, wieso es wichtig ist, andere Zahlensysteme zu kennen: Der Computer ist recht dumm. Er denkt Schwarz-Weiß. Gut oder Böse. Wahr oder Falsch. Computer bestehen nämlich aus Schaltkreisen- und zwar Millionen und Milliarden davon. Und alle diese Schaltkreise verstehen nur 2 Stellungen: An oder aus. Strom fließt oder fließt nicht.
Und genau das ist, wie der Computer Zahlen speichern kann. Wenn Strom fließt bedeutet das 1, wenn kein Strom fließt bedeutet das 0. Da es nur 2 verschiedene Ziffern gibt (statt zehn), nennt man das Zahlensystem das Binäre oder Duale Zahlensystem.
Das uns bekannte dezimale Zahlensystem
Und wie können wir nun eine solche Zahl, die im Binärsystem kodiert ist lesen? Sehen wir uns erstmal an, wie man eine im Dezimalsystem kodierte Zahl lesen kann und zwar am Beispiel 1337:
Fangen wir von rechts an, und gehen dann nach links weiter:
7: Ist die (von rechts) erste Ziffer und hat den Wert sieben.
3: Ist die (von rechts) zweite Ziffer und hat den Wert dreißig.
3: Ist die (von rechts) dritte Ziffer und hat den Wert dreihundert
1: Ist die (von rechts) vierte Ziffer und hat den Wert eintausend.
Alles addiert bekommen wir Tausenddreihundertsiebenunddreißig.
Bemerkt ihr ein Muster? Die Zahl wird immer „einmal mehr mit zehn multipliziert“. Das bedeutet, die Zahl wird immer mit einer Potenz von zehn multipliziert. Also mathematisch ausgedrückt sieht das obere so aus:
7 * 10^0 = 7
+ 3 * 10^1 = 30
+ 3 * 10^2 = 300
+ 1 * 10^3 = 1000
-------------------
1337
Und genau das funktioniert auch in anderen Zahlensystemen.